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圖中的曲線叫雪花曲線(Koch　Snowflake)，它的生成方法是：

(1)將正三角形圖(1)的每邊三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊，得到圖(2)；

(2)將圖(2)的每邊三等分，重復上述的作圖方法，得到圖(3)；

(3)再按上述方法繼續做下去，就可以得到圖(4)所示的曲線．

將圖(1)、(2)、(3)…中的圖形依次記作M1、M2、M3、…．

思考1：請分別說出M1、M2、M3的邊數，想一想、如何得到M4的邊數？

思考2：如果知道了Mn－1的邊數，我們能否知道Mn的邊數？

答案：
解析：

　　思考1：

　　可以發現M1的一條邊都相應變成M2的4條邊，即M2的邊數是M1的邊數的4倍，得M2的邊數是12；M2的一條邊都相應變成M3的4條邊，即M3的邊數是M2的邊數的4倍，得M3的邊數為48；同樣M3的每一條邊都相應變成M4的4條邊，即M4的邊數是M3的邊數的4倍，得M4的邊數為是192．(如圖)

　　思考2：

　　學生有了對M2、M3、M4的探索經驗，在初步形成的等比概念的指導下，結合電腦直觀演示，較快地得出Mn的邊數是Mn－1的邊數的4倍．

　　若邊數為bi(i＝1，2，3，…，n)，則bi+1＝4bi(i＝1，2，3，…，n)．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

冬天，潔白的雪花飄落時十分漂亮．為研究雪花的形狀，1904年，瑞典數學家科克（Koch Heige Von）把雪花理想化，得到了雪花曲線，也叫科克曲線．它的形成過程如下：
（i）將正三角形（圖①）的每邊三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊，得到圖②；
（ii）將圖②的每邊三等分，重復上述作圖方法，得到圖③；
（iii）再按上述方法無限多次繼續作下去，所得到的曲線就是雪花曲線．
將圖①、圖②、圖③…中的圖形依次記作M1、M2、…、Mn…設M1的邊長為1．
求：（1）Mn的邊數an；
    （2）Mn的邊長Ln；
    （3）Mn的面積Sn的極限．

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科目：高中數學 來源：2008-2009學年上海市十四校高三（上）第二次聯考數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

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（i）將正三角形（圖①）的每邊三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊，得到圖②；
（ii）將圖②的每邊三等分，重復上述作圖方法，得到圖③；
（iii）再按上述方法無限多次繼續作下去，所得到的曲線就是雪花曲線．
將圖①、圖②、圖③…中的圖形依次記作M1、M2、…、Mn…設M1的邊長為1．
求：（1）Mn的邊數an；
    （2）Mn的邊長Ln；
    （3）Mn的面積Sn的極限．

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科目：高中數學 來源：2008-2009學年上海市十四校高三（上）第二次聯考數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

冬天，潔白的雪花飄落時十分漂亮．為研究雪花的形狀，1904年，瑞典數學家科克（Koch Heige Von）把雪花理想化，得到了雪花曲線，也叫科克曲線．它的形成過程如下：
（i）將正三角形（圖①）的每邊三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊，得到圖②；
（ii）將圖②的每邊三等分，重復上述作圖方法，得到圖③；
（iii）再按上述方法無限多次繼續作下去，所得到的曲線就是雪花曲線．
將圖①、圖②、圖③…中的圖形依次記作M1、M2、…、Mn…設M1的邊長為1．
求：（1）Mn的邊數an；
    （2）Mn的邊長Ln；
    （3）Mn的面積Sn的極限．

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