Question

設點P在曲線y=

1

2

e^x+1上，點Q在曲線y=ln（2x-2）上，則|PQ|最小值為（　�。�

• A、1-ln2
• B、

  2

  （2-ln2）
• C、1+ln2
• D、

  2

  （1+ln2）

Answer 1

分析：根據函數y=

1

2

e^x+1與函數y=ln（2x-2）互為反函數，可知P、Q兩點間的最短距離為點P到直線y=x的最短距離d的2倍，利用導數求出d即可．

解答：解：∵函數y=

1

2

e^x+1與函數y=ln（2x-2）互為反函數，
∴函數y=

1

2

e^x+1與函數y=ln（2x-2）的圖象關于直線y=x對稱，
∴|PQ|的最小值是點P到直線y=x的最短距離的2倍，
設曲線y=

1

2

e^x+1上斜率為1的切線為y=x+b，
∵y′=

1

2

e^x，由

1

2

e^x=1得x=ln2，
即切點為（ln2，2），
∴b=2-ln2，
∴d=

|2-ln2|

2

，
∴P、Q兩點間的最短距離為2d=

2

(2-ln2)，
故選B．

點評：本題考查反函數的概念，導數的幾何意義，點到直線的距離公式等式知識的靈活應用，屬于難題．