Question

已知數列{a_n}滿足，，.

（1）求證：數列為等比數列；

（2）是否存在互不相等的正整數、、，使、、成等差數列，且、、 成等比數列？如果存在，求出所有符合條件的、、；如果不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）先利用倒數法得到，再結合待定系數法得到，從而證明數列為等比數列；（2）在（1）的條件下求出數列的通項公式，假設相應的正整數、、滿足題中條件，并列出相應的等式組并進行化簡，利用基本不等式得出矛盾，從而說明符合題中條件的正整數、、不存在.

試題解析：（1）因為，所以. 所以.

因為，則.

所以數列是首項為，公比為的等比數列；

（2）由（1）知，，所以.

假設存在互不相等的正整數、、滿足條件，

則有，

由與，

得.

即.

因為，所以.

因為，當且僅當時等號成立，

這與、、互不相等矛盾．

所以不存在互不相等的正整數、、滿足條件.

考點：1.倒數法求數列通項；2.待定系數法求數列通項；3.基本不等式