Question

【題目】已知橢圓的一個焦點為，離心率為. 點為圓上任意一點， 為坐標原點.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）記線段與橢圓交點為，求的取值范圍；

（Ⅲ）設直線經過點且與橢圓相切， 與圓相交于另一點，點關于原點的對稱點為，試判斷直線與橢圓的位置關系，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）由焦點及離心率求解方程組即可；

（Ⅱ）由，設，利用進行求解即可；

（Ⅲ）先討論PA直線斜率不存在和為0時的特殊情況，得相切的結論，再計算一般情況，設點，直線的斜率為，則，直線： ，進而得直線與橢圓聯立，通過計算判別式即可證得.

試題解析：

（Ⅰ）由題意，知， ，

所以， ，

所以橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）由題意，得.

設，則.

所以，

因為，

所以當時， ；當時， .

所以.

（Ⅲ）結論：直線與橢圓相切.

證明：由題意，點在圓上，且線段為圓的直徑，

所以.

當直線軸時，易得直線的方程為，

由題意，得直線的方程為，

顯然直線與橢圓相切.

同理當直線軸時，直線也與橢圓相切.

當直線與軸既不平行也不垂直時，

設點，直線的斜率為，則，直線的斜率，

所以直線： ，直線： ，

由 消去，

得.

因為直線與橢圓相切，

所以，

整理，得. （1）

同理，由直線與橢圓的方程聯立，

得. （2）

因為點為圓上任意一點，

所以，即.

代入（1）式，得，

代入（2）式，得

.

所以此時直線與橢圓相切.

綜上，直線與橢圓相切.