Question

設定義在R上的函數f(x)=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x+a₄,a₀,a₁,a₂,a₃,a₄∈R,當x=-1時，f(x)取得極大值，且函數y=f(x+1)的圖象關于點(-1,0)對稱.

(1)求f(x)的表達式;

(2)在函數y=f(x)的圖象上是否存在兩點,使以這兩點為切點的切線互相垂直,且切點的橫坐標都在［,］上?如果存在,求出這兩點的坐標;如果不存在,請說明理由;

(3)設x_n=,y_m=(m,n∈N^*),求證:|f(x_n)-f(y_m)|＜.

Answer 1

解:(1)將y=f(x+1)的圖象向右平移1個單位,得到y=f(x)的圖象,

所以y=f(x)的圖象關于點(0,0)對稱,即y=f(x)是奇函數.

所以f(x)=a₁x³+a₃x.由題意，得

所以f(x)=x³-x.

(2)由(1)得f′(x)=x²-1,

假設存在兩切點為(x₁,f(x₁)),(x₂,f(x₂))(x₁,x₂∈［,］),

則f′(x₁)·f′(x₂)=(x₁²-1)(x₂²-1)=-1.

因為(x₁²-1)、(x₂²-1)∈［-1,1］,

所以或即或

從而可得所求兩點的坐標分別為(0,0),(,)或(0,0),(-,).

(3)證明：因為當x∈［,1)時,f′(x)＜0,所以f(x)在［,1)上單調遞減.

由已知得x_n∈［,1),所以f(x_n)∈(f(1),f()］,即f(x_n)∈(,］.

注意到x＜-1時，f′(x)＞0,－1＜x＜1時，f′(x)＜0,

故f(x)在(-∞,-1)上單調遞增，在(-1,1)上單調遞減.

由于y_m=,所以y_m∈(,］.因為＜-1＜,

所以f(y_m)∈(f(-2),f(-1)］,即f(y_m)∈(,］，

所以|f(x_n)-f(y_m)|=f(y_m)-f(x_n)＜-(-)=.