Question

如圖所示，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PD=DC，E是PC的中點．
（1）證明：PA∥平面BDE；
（2）證明：平面ADE⊥平面PBC；
（3）求直線AE與平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

解：（1）連接AC，交BD于O，連接EO．
∵四邊形ABCD是正方形，∴O為AC中點，
∵△PAC中，E為PA的中點，
∴OE是△PAC的中位線，可得OE∥PA．
又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE；
（2）∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC
又∵CD⊥BC，PD、CD是平面PCD內的相交直線
∴BC⊥平面PCD，結合DE?平面PCD，得DE⊥BC，
∵△PCD中，PD=DC，E為P中點，∴DE⊥PC，
∵PC、BC是平面PBC內的相交直線
∴DE⊥平面PBC
∵DE?平面ADE，∴平面ADE⊥平面PBC；
（3）取CD中點，連接AH、EH
∵△PCD中，E、H分別為PC、CD的中點
∴EH∥PD，結合PD⊥平面ABCD，可得EH⊥平面ABCD
因此，AH就是AE在平面BACD內的射影
∴∠EAH就是直線AE與平面ABCD所成角
∵Rt△AEH中，AH==，EH=PD=1
∴AE==，可得cos∠EAH==
即直線AE與平面ABCD所成角的余弦值為
分析：（1）連接AC交BD于O，連接EO．可得△PAC中，OE是中位線，從而OE∥PA．再由線面平行判定定理，即得PA∥平面BDE；
（2）根據線面垂直的判定與性質，證出BC⊥平面PCD，從而DE⊥BC．利用等腰△PDC的“三線合一”證出DE⊥PC，進而得到DE⊥平面PBC，最后用面面垂直的判定定理可證出平面ADE⊥平面PBC；
（3）取CD中點，連接AH、EH，△PDC中利用中位線定理得到EH∥PD，可得EH⊥平面ABCD，∠EAH就是直線AE與平面ABCD所成角．再在Rt△AEH中利用余弦的定義，即可求出直線AE與平面ABCD所成角的余弦值．
點評：本題考查了平面和平面垂直的判定、直線和平面所成的角等知識，屬于中檔題．運用中位線定理求空間角并證明線面平行，使問題得以解決，是處理本題的關鍵．