Question

已知函數f（x）=（2x+2）e^-x（e為自然對數的底數）
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）設函數φ（x）=

1

2

xf(x)+

1

2

tf′(x)+e-x，是否存在實數x₁，x₂∈[0，1]，使得2φ（x₁）＜φ（x₂）？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求導數fˊ（x）然后在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區間為單調增區間，fˊ（x）＜0的區間為單調減區間．
（2）假設存在實數x₁，x₂∈[0，1]，使得2φ（x₁）＜φ（x₂），則2[φ（x₁）]min＜φ[（x₂）]max
研究φ（x）在[0，1]上單調性，用t表示出φ（x）在[0，1]上的最值，解相關的關于t的不等式求出范圍．

解答：解：（1）∵f′（x）=2e^-x-（2x+2）e^-x=

-2x

ex

∴f（x）在（-∞，0）上單調遞增，在（0，+∞）上單調遞減．----（4分）
（Ⅱ）假設存在實數x₁，x₂∈[0，1]，使得2φ（x₁）＜φ（x₂），則2[φ（x₁）]min＜φ[（x₂）]max
--------（6分）
∵函數φ（x）=

1

2

xf(x)+

1

2

tf′(x)+e-x=

x2+(1-t)x+1

ex

∴φ′（x）=

-x2+(1+t)x-t

ex

=

-(x-t)(x-1)

ex

，
①當t≥1時，φ′（x）≤0，φ（x）在[0，1]上單調遞減
∴2φ（1）＜φ（0），即2

3-t

e

＜1，得t＞3-

e

2

＞1．
②當t≤0時，φ′（x）＞0，φ（x）在[0，1]上單調遞增．
∴2φ（0）＜φ（1），即2＜

3-t

e

，得t＜3-2e＜0----（10分）
③當0＜t＜1時，
在x∈[0，t），φ′（x）＜0，φ（x）在[0，t]上單調遞減
在x∈（t，1]，φ′（x）＞0，φ（x）在[t，1]上單調遞增．
∴2φ（t）＜max{ φ（0），φ（1）}，即2•

t+1

et

＜max{ 1，

3-t

e

}①
由（Ⅰ）知，f（t）=2•

t+1

et

在[0，1]上單調遞減，故

4

e

≤2•

t+1

et

≤2，而

2

e

≤

3-t

e

≤

3

e

，所以不等式①
無解．綜上所述，存在t∈(-∞，3-2e)∪(3-

e

2

，+∞），使命題成立．

點評：本題考查函數單調性與導數關系，求函數單調區間，求最值，最值的應用，分類討論思想．關鍵是轉化到2[φ（x₁）]min＜φ[（x₂）]max，難點在于分類討論求相應的最值．