Question

已知F₁（-1，0），F₂（1，0）是橢圓C的兩個焦點，A、B為過F₁的直線與橢圓的交點，且△F₂AB的周長為4

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）判斷

1

|F1A|

+

1

|F1B|

是否為定值，若是求出這個值，若不是說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知，c=1，a=

3

，b=

3-1

=

2

，由此可知橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）當直線斜率不存在時，有x₁=x₂=-1，y1=

2 3

3

，y2=-

2 3

3

，

1

|F1A|

+

1

|F1B|

=

2

2 3 3

=

3

；直線斜率存在時，設直線方程為y=k（x+1）代入橢圓方程，并整理得：（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，然后由根與系數的關系能夠導出

1

|F1A|

+

1

|F1B|

的值．

解答：解：（Ⅰ）由橢圓定義可知，4a=4

3

，c=1
所以a=

3

，b=

3-1

=

2

所以橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1（5分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（1）當直線斜率不存在時，有x₁=x₂=-1（2），y1=

2 3

3

（3），y2=-

2 3

3

（4）

1

|F1A|

+

1

|F1B|

=

2

2 3 3

=

3

（6分）
（2）當直線斜率存在時，設直線方程為y=k（x+1）代入橢圓方程，并整理得：（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0（7分）
所以x1+x2=-

6k2

2+3k2

， x1x2=

3k2-6

2+3k2

（或求出x₁，x₂的值）
所以

1

|F1A|

+

1

|F1B|

=

1

(x1+1)2+ y 2 1

+

1

(x2+1)2+ y 2 2

=

1

1+k2

(

1

|x1+1|

+

1

|x2+1|

)=

1

1+k2

×

|x1-x2|

|x1x2+x1+x2+1|

=

1

1+k2

×

36k4 (2+3k2)2 -4× 3k2-6 2+3k2

|- 6k2 2+3k2 + 3k2-6 2+3k2 +1|

=

1

1+k2

×

4 3k2+3

4

=

3

（12分）
所以

1

|F1A|

+

1

|F1B|

=

3

（13分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．