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已知函數處取得極值.

(Ⅰ)求的解析式;

(Ⅱ)設是曲線上除原點外的任意一點,過的中點且垂直于軸的直線交曲線于點,試問:是否存在這樣的點,使得曲線在點處的切線與平行?若存在,求出點的坐標;若不存在,說明理由;

(Ⅲ)設函數,若對于任意,總存在,使得,求實數的取值范圍.

 

【答案】

(Ⅰ);(Ⅱ)存在,坐標為;(Ⅲ)的取值范圍是.

【解析】

試題分析:(Ⅰ)由題意知,解出;(Ⅱ)先假設存在這樣的點并設出點的坐標,然后根據斜率相等列出等式,解得即可;(Ⅲ)有3中解法,1的基本思路是:先利用導數求得的最小值,然后說明上的最小值不能大于的最小值,根據這一條件求得的范圍;2的基本思路是:先利用導數求得的最小值-2,要使總存在,使得成立,說明上有解,利用二次函數知識解答;3的基本思路和2有相似地方,只是在說明上有解時,不是利用二次函數知識,而是利用換元和分離參數法解答.

試題解析:⑴∵,∴.又處取得極值.

,即,解得,,經檢驗滿足題意,∴

⑵由⑴知.假設存在滿足條件的點,且,則,

.則由,得,∴,∵,

,得.故存在滿足條件的點

此時點的坐標為.

⑶解法 ,令,得.

變化時,的變化情況如下表:

單調遞減

極小值

單調遞增

極大值

單調遞減

處取得極小值,在處取得極大值.

時,,∴的最小值為.     

∵對于任意的,總存在,使得,

∴當時,最小值不大于.又.

∴當 時,的最小值為,由,得;

時,最小值為,由,得;

時,的最小值為.由,即,解得.又,∴此時不存在.

綜上,的取值范圍是.

解法:同解法的最小值為.

∵對于任意的,總存在,使得,∴當時,有解,即上有解.設,則

,  或,得.

時,上有解

的取值范圍是.

   解法:同解法的最小值為.  

∵對于任意的,總存在,使得,∴當時,有解,即上有解.令,則,∴.

∴當時,;當時,得,不成立,∴不存在;

時,.令,∵時,,∴

上為減函數,∴,∴.

   綜上,的取值范圍是.   

考點:利用導數求函數的極值、二次函數、利用導數求函數的單調性.

 

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(Ⅱ)若關于的方程在區間上恰有兩個不同的實數根,求實數的取值范圍.

 

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