Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n+1=kS_n+2（n∈N^*），且a₁=2，a₂=1
（I）求k的值和S_n的表達式；
（II）是否存在正整數m，n，使成立？若存在，則求出這樣的正整數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）∵S₂=kS₁+2，∴a₁+a₂=ka₁+2又a₁=2，a₂=1，2+1=2k+2，∴…（2分）
∴①當n≥2時，②①-②，得
又，由a₁=2≠0可得a_n≠0（n∈N^*），∴
于是{a_n}是等比數列，其首項為a₁=2，公比為，所以…（6分）
（II）不等式，即．，整理得，
令t=2ⁿ（4-m），則不等式變為，解之得2＜t＜6即2＜2ⁿ（4-m）＜6…（8分）
假設存在正整數m，n使得上面的不等式成立，由于2ⁿ為偶數，4-m為整數，
則只能是2ⁿ（4-m）=4∴
因此，存在正整數．…（12分）
分析：（I）由題設條件S_n+1=kS_n+2（n∈N^*），且a₁=2，a₂=1，利用S₂=kS₁+2，建立方程求出k，再利用a_n=S_n-S_n-1，研究數列的性質，根據數列的性質得出S_n的表達式；
（II）假設存在正整數m，n，使成立，由不等式進行等價轉化，得出正整數m，n滿足的條件，若能解出正整數m，n的值，則說明假設成立，否則說明不存在正整數m，n，使成立．
點評：本題考查數列與不等式的綜合，解題的關鍵是充分利用題設中的恒等式進行變換，解得數列的性質，求出數列的和的表達式，本題第二小問是一個存在性問題的探究，此類題一般是假設所研究的結論成立，由此尋求其等價條件，得出參數所滿足的不等式或者方程，由此方程或者不等式求解參數的可能值，若能求出符合條件的值，則說明存在這樣的參數使得結論成立