Question

【題目】已知函數f（x）= （a，b∈R）在點 （2，f（2）） 處切線的斜率為﹣ ﹣ln 2，且函數過點（4， ）． （Ⅰ）求a、b 的值及函數 f （x）的單調區間；
（Ⅱ）若g（x）= （k∈N*），對任意的實數x0＞1，都存在實數x1 ， x2滿足0＜x1＜x2＜x0 ， 使得f（x0）=f（x1）=f（x2），求k 的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函數f（x）= （a，b∈R）， ∴f（x）定義域為（0，1）∪（1，+∞），

∵函數f（x）在點 （2，f （2）） 處切線的斜率為﹣ ﹣ln 2，且函數過點（4， ）．
∴
∴ ，
∴
∴
記 ，則 ，
h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
h（x）≤h（1）=﹣1＜0
∴ 恒成立，
∴f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞減．
（Ⅱ）由題得，原問題轉化為f（x）＜g（x）在x∈（0，1）上恒成立，
f（x）＞g（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，
即 在x∈（0，1）∪（1，+∞）上恒成立，
，
∴φ（x）在（0，1），（1，k）上單調遞減，（k，+∞）上單調遞增，
當x∈（0，1）時，φ（x）＞φ（1）=1＞0…（9分）
當x∈（1，+∞）時，φ（x）≥φ（k）=lnk﹣k+2，∴lnk﹣k+2＞0
記Φ（k）=lnk﹣k+2，則 恒成立，
Φ（k）在k∈[1，+∞）上是減函數，
Φ（3）=ln3﹣1＞0，Φ（4）=ln4﹣2＜0，
∴k的最大值為3．
【解析】（Ⅰ）先求出f（x）定義域為（0，1）∪（1，+∞）， ，由函數f（x）在點 （2，f （2）） 處切線的斜率為﹣ ﹣ln 2，且函數過點（4， ），列出方程組求出a，b，從而 記 ，則 ，利用導數性質能求出函數 f （x）的單調區間．（Ⅱ）原問題轉化為f（x）＜g（x）在x∈（0，1）上恒成立，f（x）＞g（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，從而 在x∈（0，1）∪（1，+∞）上恒成立，由此利用導數性質能求出k的最大值．