Question

某新興城市擬建設污水處理廠，現有兩個方案：
方案一：建設兩個日處理污水量分別為x_l和x₂（單位：萬m³/d）的污水廠，且3≤x_l≤5，3≤x₂≤5．
方案二：建設一個日處理污水量為x_l+x₂（單位：萬m³/d）的污水廠．
經調研知：
（1）污水處理廠的建設費用P（單位：萬元）與日處理污水量x（單位：萬m³/d）的關系為P=40x²；
（2）每處理1m³的污水所需運行費用Q（單位：元）與日處理污水量x（單位：萬m³/d）的關系為：Q=

0.4  (6≤x≤10) 0.6    (3≤x≤5)

．
（I）如果僅考慮建設費用，哪個方案更經濟？
（Ⅱ）若x_l+x₂=8，問：只需運行多少年，方案二的總費用就不超過方案一的總費用？
注：一年以250個工作日計算；總費用=建設費用+運行費用．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得出兩個方案的建設費用，再利用基本不等式的性質即可得出；
（Ⅱ）由題意得出兩個方案的總費用，再利用二次函數的單調性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）如果僅考慮建設費用，若使用方案一：P₁=40

x

2 1

+40

x

2 2

，
若使用方案二：P2=40(x1+x2)2=40

x

2 1

+40

x

2 2

+80x1x2
∵3≤x_l≤5，3≤x₂≤5，∴P₂＞P₁．
故使用方案一更經濟．
（Ⅱ）由題意，運行n年后，Q1=40

x

2 1

+0.6x1×250n+40

x

2 2

+0.6x2×250n，
Q2=40(x1+x2)2+0.4(x1+x2)×250n，
由Q₁≥Q₂，化為0.2（x₁+x₂）×250n≥80x₁x₂，
∵x₁+x₂=8，∴5n≥x₁x₂，∴5n≥x₁（8-x₁）．
∵x₁∈[3，5]，∴x1(8-x1)=-

x

2 1

+8x1=-(x1-4)2+16，∴x₁（8-x₁）∈[15，16]，
∴當x₁=3或5時，即x₁（8-x₁）=15，經過3年方案二與方案一的總費用相等．
當x₁∈（3，5]時，x₁（8-x₁）∈（15，15]，只需經過4年方案二的總費用就少于方案一的總費用．

點評：正確得出兩個方案費用的表達式并熟練掌握基本不等式的性質和二次函數的單調性是解題的關鍵．