Question

【題目】已知橢圓E:=1(a>b>0)的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點,直線l:y=-x+3與橢圓E有且只有一個公共點T.

(1)求橢圓E的方程及點T的坐標;

(2)設O是坐標原點,直線l'平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點A,B,且與直線l交于點P,證明:存在常數λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.

Answer 1

【答案】(1)=1,點T的坐標為(2,1)；(2)存在常數λ=,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.

【解析】試題分析：

（1）由題意得橢圓E中a=b，故橢圓E的方程為=1．把y=-x+3與橢圓E的方程聯立消元后得到二次方程，由直線與橢圓有且只有一個公共點得到方程的判別式為0，可得b2=3，且得到方程的解為x=2，進而得到點T的坐標．（2）設直線l'的方程為y=x+m，并求出直線l'與直線l的交點P，可得；再根據直線l'與橢圓的方程可得|PA|=，|PB|=，計算可得|PA|·|PB|=m2，比較可得存在常數λ=，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|．

試題解析：

(1)∵橢圓E的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，

∴a=b，

∴橢圓E的方程為=1．

由消去y整理得3x212x+(182b2)=0． ①

方程①的判別式為Δ=24(b23)，

由Δ=0，得b2=3，

此時方程①的解為x=2，

∴橢圓E的方程為=1，點T的坐標為(2，1)．

(2)由已知可設直線l'的方程為y=x+m(m≠0)，

由方程組可得

∴點P的坐標為，

∴．

由消去y整理得3x2+4mx+(4m212)=0． ②

方程②的判別式為Δ=16(92m2)．

由Δ>0，得<m<．

設點A，B的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)．

則x1+x2=，x1x2=．

∴|PA|==，

同理|PB|=．

∴|PA|·|PB|==

=m2．

由|PT|2=λ|PA|·|PB|可得λ=．

∴存在常數λ=，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|．