Question

（07年湖南卷理）（12分）

如圖2，分別是矩形的邊的中點，是上的一點，將，分別沿翻折成，，并連結，使得平面

平面，，且．連結，如圖3．

　　　　圖2                            

圖3

（I）證明：平面平面；

（II）當，，時，求直線和平面所成的角．

Answer 1

解析：解法一：（Ｉ）因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，

所以平面平面．

（II）過點作于點，連結．

由（I）的結論可知，平面，

所以是和平面所成的角．

因為平面平面，平面平面，，

平面，所以平面，故．

因為，，所以可在上取一點，使，

又因為，所以四邊形是矩形．

由題設，，，則．所以，

，，．

因為平面，，所以平面，從而．

故，．

又，由得．

故．

即直線與平面所成的角是．

解法二：（I）因為平面平面，平面平面，，

平面，所以平面，從而．又，

所以平面．因為平面，所以平面平面．

（II）由（I）可知，平面．故可以為原點，分別以直線

為軸、軸、軸建立空間直角坐標系（如圖），

由題設，，，則，

，，相關各點的坐標分別是，

，，．

所以，．

設是平面的一個法向量，

由得故可取．

過點作平面于點，因為，所以，

于是點在軸上．

因為，所以，．

設（），由，解得，

所以．

設和平面所成的角是，則

．

故直線與平面所成的角是．