Question

如圖，橢圓的左右頂點分別為A、B，左右焦點分別為F₁、F₂，P為以F₁、F₂為直徑的圓上異于F₁、F₂的動點，直線PF₁、PF₂分別交橢圓C于M、N和D、E．
（1）證明：為定值K；
（2）當K=-2時，問是否存在點P，使得四邊形DMEN的面積最小，若存在，求出最小值和P坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵橢圓，
∴c²=a²-（a²-1）=1，
∴C=1，F₁（-1，0），F₂（1，0），
∵P為以F₁、F₂為直徑的圓上，
即P是圓心為（0，0），半徑為1的圓上一點，
∴設P（cosθ，sinθ），
∵A（-a，0），B（a，0）
∴，，
∴=（cosθ+a，sinθ）•（cosθ-a，sinθ）
=cos²θ-a²+sin²θ
=1-a²
=K（定值）．
（2）當K=-2時，1-a²=-2，a²=3，
橢圓方程為．
設DE：y=k（x+1），代入，消去y，得
（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0，
設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則
，
∴=，
∴．
∵P為以F₁、F₂為直徑的圓上異于F₁、F₂的動點，
∴PF₁⊥PF₂，∴DE⊥MN，
∴設MN：y=．
同理，得：
=．
∴四邊形DMEN的面積

=
=，
令，得=4-，
∵，
∴當k=±1時，u=2，S=．
故四邊形DMEN的面積最小值為，此時P點坐標為（0，±1）．
分析：（1）由橢圓，知c²=a²-（a²-1）=1，F₁（-1，0），F₂（1，0），設P（cosθ，sinθ），能證明=K（定值）．
（2）當K=-2時，橢圓方程為．設DE：y=k（x+1），代入，得（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0，設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則．由DE⊥MN，同理，得：=．由此能求出四邊形DMEN的面積最小值和此時P點坐標．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．