Question

設函數f（x）=ax+lnx，g（x）=a²x²；
（1）當a=-1時，求函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y+3=0距離的最小值；
（2）是否存在正實數a，使得不等式f（x）≤g（x）對一切正實數x都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）平移直線x-y+3=0當它與函數y=f（x）圖象相切時，切點即為函數y=f（x）圖象上到直線x-y+3=0距離最小的點，此時切線的斜率等于函數y=f（x）在切點處的導數，故求切點坐標可以根據導函數值等于1入手．
（2）若不等式f（x）≤g（x）對一切正實數x都成立，我們可以構造函數F（x）=f（x）-g（x）將其轉化為函數恒成立問題，然后根據導函數求出F（x）的最大值，根據F（x）≤0恒成立?F（x）的最大值≤0進行求解．
解答：解：（1）由f（x）=-x+lnx，得，令f'（x）=1，得
∴所求距離的最小值即為到直線x-y+3=0的距離

（2）假設存在正數a，令F（x）=f（x）-g（x）（x＞0），則F（x）_max≤0
由得∵時，F′（x）＜0，
∴F（x）為減函數；
當時，F′（x）＞0，
∴F（x）為增函數
∴
∴即a≥1
所以a的取值范圍是[1，+∞）
點評：（1）用導數解應用題求最值的一般方法是：求導，令導數等于零；求y′=0的根，求出極值點；最后寫出解答．（2）在有關極值應用的問題中，絕大多數在所討論的區間上函數只有一點使得f′（x）=0，且在兩側f′（x）的符號各異，一般稱為單峰問題，此時該點就是極值點，也是最值點．