Question

【題目】已知函數．

（1）設，曲線在點處的切線在軸上的截距為，求的最小值；

（2）若只有一個零點，且，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2），或

【解析】

（1）求得的導數，可得切線的斜率和切點，切線方程，可令，求得，再由二次函數的最值求法，可得所求；

（2）若只有一個零點，且，可得，按，，分類討論的單調性，得的極小值都大于，解不等式可得所求范圍．

（1）的導數為，

在點處的切線斜率為，且，

所以切線方程為

令，得，

由，可得在上遞增，可得的最小值為；

（2）因為，令，可得或，

當時，在，上遞增，在上遞減，

且，，若只有一個零點，且，

則，解得，所以；

當時，在，上遞增，在上遞減，且，

若只有一個零點，且，則，或，解得或；

當時，，得在上遞增，且，

所以只有一個零點，且，滿足題意.

綜上：，或.