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設數列{an}的前n項和為Sn,滿足Sn=2-an
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設數列{bn}滿足bn=λan-an2,若n≥5時,bn+1<bn恒成立,求實數λ的取值范圍.
分析:(1)由題設知a1=1,an+Sn=2,an+1+Sn+1=2,兩式相減:an+1-an+an+1=0,故有2an+1=an,
an+1
an
=
1
2
,n∈N+
,由此能求出數列{an}的通項公式.
(2)先表示出bn=λan-an2,進而可表示bn+1-bn,即λ>3•(
1
2
)
n
,要使n≥5時,bn+1<bn恒成立,即使λ>3•(
1
2
)
5
,故可得實數λ的取值范圍.
解答:解:(1)∵n=1時,a1+S1=a1+a1=2,∴a1=1,
∵Sn=2-an,即an+Sn=2,∴an+1+Sn+1=2,兩式相減:an+1-an+an+1=0,
故有2an+1=an,∵an≠0,∴
an+1
an
=
1
2
,n∈N+

所以,數列{an}為首項a1=1,公比為
1
2
的等比數列,
an=(
1
2
)
n-1

(2)bn=λan-an2=λ•(
1
2
)
n-1
-(
1
4
)
n-1

bn+1-bn=-λ•(
1
2
)
n
+3•(
1
4
)
n

∵bn+1<bn,∴λ>3•(
1
2
)
n

∵n≥5時,bn+1<bn恒成立,
λ>3•(
1
2
)
5
,∴λ>
3
32

∴實數λ的取值范圍是(
3
32
,+∞)
點評:本題的考點是數列與不等式的綜合,主要考查迭代法求數列通項公式的方法,考查最值法解決恒成立問題,關鍵是寫出兩式,作差化簡,構建等比數列.
練習冊系列答案
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(1)求數列{an}的通項公式;
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科目:高中數學 來源: 題型:

設數列an的前n項的和為Sna1=
3
2
,Sn=2an+1-3

(1)求a2,a3;
(2)求數列an的通項公式;
(3)設bn=(2log
3
2
an+1)•an
,求數列bn的前n項的和Tn

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科目:高中數學 來源: 題型:

設數列{an}的前n項和Sn=2an+
3
2
×(-1)n-
1
2
,n∈N*
(Ⅰ)求an和an-1的關系式;
(Ⅱ)求數列{an}的通項公式;
(Ⅲ)證明:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
10
9
,n∈N*

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科目:高中數學 來源: 題型:

不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區域為Dn,若Dn內的整點(整點即橫坐標和縱坐標均為整數的點)個數為an(n∈N*
(1)寫出an+1與an的關系(只需給出結果,不需要過程),
(2)求數列{an}的通項公式;
(3)設數列an的前n項和為SnTn=
Sn
5•2n
,若對一切的正整數n,總有Tn≤m成立,求m的范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•鄭州一模)設數列{an}的前n項和Sn=2n-1,則
S4
a3
的值為( 。

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