Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣a|﹣ +a，x∈[1，6]，a∈R．
（1）若a=1，試判斷并證明函數f（x）的單調性；
（2）當a∈（1，6）時，求函數f（x）的最大值的表達式M（a）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵a=1，x∈∈[1，6]，

∴f（x）=|x﹣1|﹣ +1=x﹣ ，

∴f′（x）=1+ ＞0，

∴f（x）是增函數；

（2）

解：因為1＜a＜6，所以f（x）= ，

①當1＜a≤3時，f（x）在[1，a]上是增函數，在[a，6]上也是增函數，

所以當x=6時，f（x）取得最大值為 ．

②當3＜a＜6時，f（x）在[1，3]上是增函數，在[3，a]上是減函數，在[a，6]上是增函數，

而f（3）=2a﹣6，f（6）= ，

當3＜a≤ 時，2a﹣6≤ ，當x=6時，f（x）取得最大值為 ．

當 ≤a＜6時，2a﹣6＞ ，當x=3時，f（x）取得最大值為2a﹣6．

綜上得，M（a）=

【解析】（1）可求得f（x）=x﹣ ，利用f′（x）＞0即可判斷其單調性；（2）由于1＜a＜6，可將f（x）化為f（x）= ，分1＜a≤3與3＜a＜6討論函數的單調性，從而求得函數f（x）的最大值的表達式M（a）．
【考點精析】通過靈活運用函數單調性的判斷方法和函數的最值及其幾何意義，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲�；利用圖象求函數的最大（�。┲�；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值即可以解答此題．