Question

【題目】已知橢圓的左頂點為A1，右焦點為F2，過點F2作垂直于x軸的直線交該橢圓于M、N兩點，直線A1M的斜率為．

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若△A1MN的外接圓在M處的切線與橢圓相交所得弦長為，求橢圓方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題（Ⅰ）由已知得點坐標，由，得，解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，又外心在軸上，設為，則由，解得，故，所以經過點的切線方程為，聯立橢圓方程，消去，得，則由弦長公式可得弦長為，解得，故所求方程為.

試題解析：（Ⅰ）由題意

因為A1（﹣a，0），所以

將b2=a2﹣c2代入上式并整理得（或a=2c）

所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=2c，（或）

所以A1（﹣2c，0），外接圓圓心設為P（x0，0）

由|PA1|=|PM|，得

解得：

所以

所以△A1MN外接圓在M處切線斜率為，設該切線與橢圓另一交點為C

則切線MC方程為，即

與橢圓方程3x2+4y2=12c2聯立得7x2﹣18cx+11c2=0

解得

由弦長公式得

解得c=1

所以橢圓方程為