Question

（2013•鷹潭一模）已知函數f（x）=2

3

cos²x+2sinxcosx-m（x∈R）．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）x∈[0，

π

2

]時，函數f（x）的值域為[-

3

，2]，求實數m的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角、輔助角公式化簡函數，即可得到函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）整體思維，求出x∈[0，

π

2

]時，函數f（x）的值域，結合條件，即可求實數m的值．

解答：解：（1）∵f(x)=2

3

cos2x+2sinxcosx-m=2sin(2x+

π

3

)+

3

-m…（3分）
∴函數f（x）的最小正周期為T=π．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z
∴函數f（x）的單調增區間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

](k∈Z)…（6分）
（2）假設存在實數m符合題意，則
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，∴sin（2x+

π

3

）∈[-

3

2

，1]
∴f(x)=2sin(2x+

π

3

)+

3

-m∈[m，2+m+

3

]
又∵f(x)∈[-

3

，2]，
∴m=

3

…（12分）

點評：本題考查三角函數的化簡，考查三角函數的性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．