Question

【題目】已知圓的一條直徑是橢圓的長軸，過橢圓上一點的動直線與圓相交于點，弦的最小值為.

（1）求圓及橢圓的方程；

（2） 已知點是橢圓上的任意一點，點是軸上的一定點，直線的方程為，若點到定直線的距離與到定點的距離之比為，求定點的坐標.

Answer 1

【答案】(1)圓的方程為，橢圓的方程為；(2) .

【解析】試題分析：（1）當時， 最小，根據垂徑定理求半徑，根據長軸得a，將點坐標代入橢圓方程解得b,（2）設，利用點到直線距離公式以及兩點間距離公式化簡條件得恒等式，根據恒等式成立條件解出

試題解析：（1）當時， 最小，因為，所以，

因為圓的一條直徑是橢圓的長軸，所以

又點在橢圓上，所以，

所以圓的方程為，橢圓的方程為

（2）依題意設，則點到直線的距離，

點到點的距離為，故有，

即得： ，

又點在橢圓上，則，因此有，

即對恒成立，

所以，即定點的坐標為，即為橢圓的右焦點.