Question

A、B是橢圓上的點，O為原點，OA與OB斜率的乘積等于-2，．
（I）求證：點C在另一個橢圓上；
（II）求四邊形OACB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（I）先設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x，y），結合直線的斜率公式得k_OA•k_OB，再利用向量關系式得到：x=x₁+x₂，y=y₁+y₁，最后得到點C的坐標適合橢圓的方程，從而證得點C在另一個橢圓上；
（II）設直線OA的斜率為k，則直線OB的斜率為-，點A坐標方程組，|x₁+x₂|=．|OA|=|，tan∠AOB=|，再由S=2S_△AOB=|OA||OB|sin∠AOB
=，能求出四邊形OACB的面積．
解答：解：（I）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x，y），則x₁²+=1，
且k_OA•k_OB==0，…（2分）
），
于是x=x₁+x₂，y=y₁+y₁，
∴x²+=（x₁+x₂）²+
=x₁²+=2，
于是，=1上．  …（5分）
（II）設直線OA的斜率為k，則直線OB的斜率為-，
點A坐標方程組，∴|x₁+x₂|=．…（8分）
|OA|=|，
tan∠AOB=|，
S=2S_△AOB=|OA||OB|sin∠AOB
=
=
=
=．
點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、直線的斜率等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．