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設a、b、c為一個三角形的三邊，S=(a+b+c)，且S2=2ab，求證：S＜2a.

 

思路解析：條件與結論之間的關系不明顯，可先結合條件把結論作適當轉化，把S＜2a轉化為b+c＜3a，結合S2=2ab轉化為b＜S.

證明：要證S＜2a，由于S2=2ab，只需證S＜，即b＜S，只需證2b＜a+b+c，即b＜a+c.

    由于a、b、c為一個三角形的三邊，所以上式成立，于是原命題成立.


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•眉山一模）設函數f（x）對其定義域內的任意實數x1與x2都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
，則稱函數f（x）為上凸函數． 若函數f（x）為上凸函數，則對定義域內任意x1、x2、x3，…，xn都有f(
x1+x2+…+xn
n
)≥
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
n
（當x1=x2=x3=…=xn時等號成立），稱此不等式為琴生不等式，現有下列命題：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函數；
②二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）是上凸函數的充要條件是a＞0；
③f（x）是上凸函數，若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是f（x）圖象上任意兩點，點C在線段AB上，且
AC
=λ
CB
，則f(
x1+λx2
1+λ
)≥
f(x1)+λf(x2)
1+λ
；
④設A，B，C是一個三角形的三個內角，則sinA+sinB+sinC的最大值是
3
3
2
．
其中，正確命題的序號是
①③④
①③④
（寫出所有你認為正確命題的序號）．

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科目：高中數學 來源： 題型：047

設a，b，c為某一個三角形的三條邊，a≥b≥c，求證：

．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設a、b、c為正數，則a+、b+、c+這三個數

A.都不大于2                                                  B.至少有一個不大于2

C.都不小于2                                                  D.至少有一個不小于2

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科目：高中數學 來源： 題型：

設a、b、c為某一個三角形的三條邊,a≥b≥c,求證:

(1)c(a+b-c)≥b(c+a-b)≥a(b+c-a);

(2)a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.

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科目：高中數學 來源：2012年四川省眉山市高考數學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設函數f（x）對其定義域內的任意實數，則稱函數f（x）為上凸函數． 若函數f（x）為上凸函數，則對定義域內任意x1、x2、x3，…，xn都有（當x1=x2=x3=…=xn時等號成立），稱此不等式為琴生不等式，現有下列命題：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函數；
②二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）是上凸函數的充要條件是a＞0；
③f（x）是上凸函數，若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是f（x）圖象上任意兩點，點C在線段AB上，且；
④設A，B，C是一個三角形的三個內角，則sinA+sinB+sinC的最大值是．
其中，正確命題的序號是    （寫出所有你認為正確命題的序號）．

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