Question

設橢圓的左、右焦點分別為F₁，F₂，A是橢圓上的一點，C，原點O到直線AF₁的距離為．
（Ⅰ）證明；
（Ⅱ）求t∈（0，b）使得下述命題成立：設圓x²+y²=t²上任意點M（x，y）處的切線交橢圓于Q₁，Q₂兩點，則OQ₁⊥OQ₂．

Answer 1

【答案】分析：證法一：設點A（c，y），y＞0，由題設條件能夠推導出，直線AF₂的方程為，再由原點O到直線AF₁的距離得到，由此可得．
證法二：由題設知A，由橢圓定義得|AF₁|+|AF₂|=2a，又，所以，解得，而，由此能夠導出．
（Ⅱ）圓x²+y²=t²上的任意點M（x，y）處的切線方程為xx+yy=t²．當t∈（0，b）時，圓x²+y²=t²上的任意點都在橢圓內，故此圓在點A處的切線必交橢圓于兩個不同的點Q₁和Q₂，因此點Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂）的坐標是方程組
的解．當y≠0時，由①式得代入②式，得，然后結合題設條件利用根與系數的關系進行求解．
解答：解：（Ⅰ）證法一：由題設AF₂⊥F₁F₂及F₁（-c，0），
F₂（c，0），不妨設點A（c，y），
其中y＞0，由于點A在橢圓上，
有，，
解得，從而得到，
直線AF₂的方程為，
整理得b²x-2acy+b²c=0．
由題設，原點O到直線AF₁的距離為，
即，
將c²=a²-b²代入原式并化簡得a²=2b²，即．

證法二：同證法一，得到點A的坐標為，
過點O作OB⊥AF₁，垂足為H，易知△F₁BC∽△F₁F₂A，
故
由橢圓定義得|AF₁|+|AF₂|=2a，又，
所以，
解得，而，
得，即；

（Ⅱ）圓x²+y²=t²上的任意點M（x，y）
處的切線方程為xx+yy=t²．
當t∈（0，b）時，圓x²+y²=t²上的任意點都在橢圓內，
故此圓在點A處的切線必交橢圓于兩個不同的點Q₁和Q₂，
因此點Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂）的坐標是方程組
的解．
當y≠0時，由①式得
代入②式，得，
即（2x²+y²）x²-4t²xx+2t⁴-2b²y²=0，
于是，

=
=
=．若OQ₁⊥OQ₂，
則．
所以，3t⁴-2b²（x²+y²）=0．由x²+y²=t²，得3t⁴-2b²t²=0．
在區間（0，b）內此方程的解為．
當y=0時，必有x≠0，同理求得在區間（0，b）內的解為．
另一方面，當時，可推出x₁x₂+y₁y₂=0，從而OQ₁⊥OQ₂．
綜上所述，使得所述命題成立．
點評：本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、兩條直線垂直、圓的方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力．