Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點，，離心率為，的周長等于，點、在橢圓上，且在邊上.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）如圖，過圓上任意一點作橢圓的兩條切線和與圓交與點、，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為.

【解析】

（1）由題意可知，即，根據離心率，可知，再利用，求解即可.

（2）先根據韋達定理證明兩切線垂直，得出線段為圓直徑，，再根據均值不等式，求解即可.

（1）的周長等于，點、在橢圓上，且在邊上.

，即

又離心率

，則

橢圓的標準方程為：

（2）設，則

當兩條切線中有一條切線的斜率不存在時，即，，

則另一條切線的斜率為，從而.

當切線斜率都存在，即時，設過點的橢圓的切線方程為

則，即

則

即

設切線和的斜率分別是，.

則，為方程的兩根

即

從而，則線段為圓直徑，

當且僅當時，等號成立，取得最大值為.

綜上所述，取得最大值為.