Question

【題目】已知橢圓E： =1（a＞b＞0）經過點（2 ，1），且以橢圓短軸的兩個端點和一個焦點為頂點的三角形是等邊三角形．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設P（x，y）是橢圓E上的動點，M（2，0）為一定點，求|PM|的最小值及取得最小值時P點的坐標．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可知：2b=a，
將（2 ，1）代入橢圓方程： ，
解得：b2=4，a2=16，
∴橢圓E的方程 ；
（Ⅱ）由丨PM丨2=（x﹣2）2+y2 ， 由P（x，y）在橢圓上，（﹣4≤x≤4）則y2=4﹣ ，
∴丨PM丨2=x2﹣4x+4+4﹣ = x﹣4x+8= （x+ ）+ ，
∴當x=﹣ 時，丨PM丨取最小值，最小值為 ，
∴當x=﹣ ，解得：y=± ，
∴|PM|的最小值 ，P點的坐標（﹣ ，± ）．

【解析】（Ⅰ）由題意求得2b=a，將點（2 ，1），代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（Ⅱ）利用兩點之間的距離公式，求得丨PM丨2=（x﹣2）2+y2 ， 由P在橢圓上，則y2=4﹣ ，代入利用二次函數的性質，即可求得|PM|的最小值及P點坐標．
【考點精析】關于本題考查的橢圓的標準方程，需要了解橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能得出正確答案．