Question

在△ABC中,已知B(－2,0)、C(2,0),AD⊥BC于點D,△ABC的垂心為H,且=.

(1)求點H(x,y)的軌跡G的方程；

(2)已知P(－1,0)、Q(1,0),M是曲線G上的一點,那么,,能成等差數列嗎?若能,求出M點的坐標；若不能,請說明理由.

Answer 1

(1) G的方程為+=1(y≠0).(2)見解析

解析:

(1)∵H點坐標為(x,y),則D點坐標為(x,0),

由定比分點坐標公式可知,A點的坐標為(x,y).

∴=(x+2,y),=(x－2,y).

由BH⊥CA知x²－4+y²=0,即+ =1,

∴G的方程為+=1(y≠0).

(2)解法一:顯然P、Q恰好為G的兩個焦點,

∴||+||=4,||=2.

若,,成等差數列,則+==1.

∴||·||=| |+||=4.

由可得||=||=2,

∴M點為+=1的短軸端點.

∴當M點的坐標為(0, )或(0,－)時,,,成等差數列.

解法二:設M點的坐標為(x,y),

顯然P、Q恰好為+ =1的兩個焦點,

∴||+||=4,| |=2.

∵,,成等差數列,

∴+==1.

由橢圓第二定義可得||=a+ex,||=a－ex,

∴+=1.解得x=0.

∴M點的坐標為(0, )或(0,－).

∴當M點的坐標為(0, )或(0,－)時,,,成等差數列.