Question

【題目】已知橢圓的兩焦點分別為，，是橢圓在第一象限內的一點，并滿足，過作傾斜角互補的兩直線、分別交橢圓于、兩點.

（1）求點坐標；

（2）當直線經過點時，求直線的方程；

（3）求證直線的斜率為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）設，由題意可知與，聯立求解即可.

（2）由題意可知，的斜率為－1，的斜率為1，確定直線方程與直線的方程，然后分別與橢圓聯立，求解，兩點坐標，即可.

（3）由題意可知，直線、的斜率必存在，設的方程為：，與橢圓聯立，求解點坐標，同理求解點坐標，求直線的斜率，即可.

（1）由題可得，，

設

則，.

∴即

∵點在曲線上，則.

解得點的坐標為.

（2）當直線經過點時，則的斜率為－1，

因兩條直線、的傾斜角互補，故的斜率為1，

由得，，

即，故，

同理得，

∴直線的方程為

（3）依題意，直線、的斜率必存在，不妨設的方程為：.

由得，

設，則，，

同理，則，

同理.

所以，的斜率為定值.