Question

（2013•臨沂三模）某市統計局就本地居民的月收入調查了10000人，并根據所得數據畫了樣本的頻率分布直方圖（每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示月收入在[1000，1500），單位：元）．
（Ⅰ）估計居民月收入在[1500，2000）的概率；
（Ⅱ）根據頻率分布直方圖算出樣本數據的中位數；
（Ⅲ）若將頻率視為概率，從本地隨機抽取3位居民（看做有放回的抽樣），求月收入在[1500，2000）的居民數X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據直方圖，可得居民月收入在[1500，2000）的概率；
（Ⅱ）根據頻率分布直方圖知，中位數在[2000，2500），由此可算出樣本數據的中位數；
（Ⅲ）由題意知，X～B（3，0.3），求出相應的概率，可得X的分布列和數學期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意，居民月收入在[1500，2000）的概率約為1-（0.0002+0.0001+0.0003+0.0005×2）×500=1-0.0016×500=1-0.8=0.2．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖知，中位數在[2000，2500），
設中位數為x，則0.0002×500+0.2+0.0005（x-2000）=0.5，解得x=2400．
（Ⅲ）居民月收入在[1000，2000）的概率為0.0002×500+0.2=0.3，
由題意知，X～B（3，0.3），
因此P(x=0)=

C

0 3

×0.73=0.343，P(x=1)=

C

1 3

×0.72×0.3=0.441，P(x=2)=

C

2 3

×0.7×0.32=0.189，P(x=3)=

C

3 3

×0.33=0.027．
故隨機變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P	0.343	0.441	0.189	0.027

X的數學期望為3×0.3=0.9．

點評：本題考查頻率分布直方圖，考查中位數的計算，考查隨機變量X的分布列與數學期望，考查學生的計算能力，屬于中檔題．