Question

已知定義在實數集R上的偶函數f（x）在區間[0，+∞）上是單調增函數．
（1）求證：函數f（x）在區間（-∞，0]上是單調減函數
（2）若f（1）＜f（lgx），求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設x₁＜x₂≤0，則-x₁＞-x₂≥0，利用f（x）在區間[0，+∞）上是單調增函數的性質得出不等式，再由偶函數的性質即可得出f（x₁）＞f（x₂），再由定義即可得出單調性；
（2）由于函數是一個偶函數，故可以分兩類來解這個不等式，即lgx＜0與lgx＞0兩類來討論．

解答：解：（1）證明：設x₁＜x₂≤0，則-x₁＞-x₂≥0
∵f（x）在區間[0，+∞）上是單調增函數．
∴f（-x₁）＞f（-x₂）
又定義在實數集R上的偶函數f（x）
∴f（-x₁）=f（x₁），f（-x₂）=f（x₂），f（x₁）＞f（x₂）
∴函數f（x）在區間（-∞，0]上是單調減函數
（2）當0＜x≤1時，lgx＜0
由f（1）＜f（lgx）得f（-1）＜f（lgx），函數f（x）在區間（-∞，0]上時單調減函數
∴-1＞lgx，0＜x＜

1

10

當x≥1時，lgx＞0
由f（1）＜f（lgx），f（x）在區間[0，+∞）上是單調增函數
∴lgx＞1，x＞10
綜上所述，x的取值范圍是(0，

1

10

]∪?[10，+∞)

點評：本題考查函數的奇偶性與單調性的綜合，求解問題的關鍵是正確理解函數的性質并能用這些性質進行靈活變形轉化證明問題．本題中的函數是抽象函數，故證明問題時要注意依據題設靈活轉化．本題中的易錯點是第二問求解時易丟掉一部分解，做題時要注意考慮完善．