Question

已知橢圓=1按向量a=(t-3,t²)(t∈R)平移后得到曲線E,設曲線E的右焦點為P.

(1)求P點軌跡C的方程;

(2)A、B為曲線C上的兩點,F(0,),且(m∈R),求∠AOB(O為坐標原點)的最大值.

(文)已知函數f(x)=xⁿ+1(n∈N^*,x≠0).

(1)討論函數f(x)圖象的對稱性,并指出其一條對稱軸或一個對稱中心;

(2)令a_n=f′(x),求數列{a_n}的前n項和S_n.

Answer 1

答案：解:(1)設平移后的右焦點為P(x,y),易得已知橢圓的右焦點為F₁(3,0),

則+a=,即(3,0)+(t-3,t²)=(x,y),∴(t∈R)，即軌跡C的方程為y=x².

(2)易知F(0,)為曲線C的焦點,又AF=mBF(m∈R).

設A(x₁,x₁²),B(x₂,x₂²),其中x₁＞0,x₂＜0.則k_OA==x₁,k_OB==x₂.

∴tan∠AOB=.?設直線AB的方程為y=kx+,代入y=x²,得x²-kx-=0,

∴x₂x₁=-,

代入?得tan∠AOB==(x₂-x₁)=-(x₁-x₂)≤-×2

=-(當且僅當AB∥x軸時取等號).

∴∠AOB≤π-arctan,即∠AOB的最大值為π-arctan.

(文)解：(1)當n為偶數時,因為f(-x)=(-x)ⁿ+1=xⁿ+1=f(x),即函數f(x)為偶函數,所以其圖象關于y軸對稱.2分

當n為奇數時,因為f(-x)=(-x)ⁿ+1=-xⁿ+1,所以=1.

所以其圖象關于點(0,1)中心對稱.

〔或令g(x)=f(x)-1=xⁿ,所以g(-x)=(-x)ⁿ=-xⁿ=-g(x),即g(x)為奇函數.

所以g(x)的圖象關于原點對稱,故函數f(x)的圖象關于點(0,1)中心對稱〕

(2)a_n=f′(x)=nx^n-1,6分所以S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1.#當x=1時,S_n=;

當x≠1時,#式兩邊同乘x,得xS_n=x+2x²+3x³+…+(n-1)x^n-1+nxⁿ.?

?式-#式可得S_n=.