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已知向量m=(
3
sin
x
4
，1)，n=(cos
x
4
，cos2
x
4
)．記f（x）=
m
•
n

（I）若f(x)=
3
2
，求cos(
2π
3
-x)的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，若f(A)=
1+
3
2
，試判斷△ABC的形狀．
分析：（I）利用向量的數量積公式、二倍角公式及輔助角公式，化簡函數，再利用f(x)=
3
2
，即可求cos(
2π
3
-x)的值；
（Ⅱ）利用正弦定理，將邊轉化為角，求得B=
π
3
，再利用f(A)=
1+
3
2
，求得A=
π
3
，即可判斷三角形的形狀．
解答：解：（I）∵向量m=(
3
sin
x
4
，1)，n=(cos
x
4
，cos2
x
4
)．
∴f（x）=
m
•
n
=
3
sin
x
4
cos
x
4
+cos2
x
4
=sin(
x
2
+
π
6
)+
1
2

∵f(x)=
3
2
，
∴sin(
x
2
+
π
6
)+
1
2
=
3
2
，
∴sin(
x
2
+
π
6
)=1
∴cos(x+
π
3
)=1-2sin2(
x
2
+
π
6
)=-1
∴cos(
2π
3
-x)=-cos(
π
3
+x)=1
（Ⅱ）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA
∵sinA＞0，∴cosB=
1
2

∵B∈（0，π），∴B=
π
3

∵f(A)=
1+
3
2
，
∴sin(
A
2
+
π
6
)=
3
2

∴
A
2
+
π
6
= 
π
3
或
A
2
+
π
6
=
2π
3

∴A=
π
3
或A=π（舍去）
∴C=
π
3

∴△ABC為正三角形．
點評：本題考查向量與三角函數知識的綜合，考查三角函數的化簡，考查正弦定理的運用，正確運用公式是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sinx，cosx)，
n
=(cosx，cosx)，
p
=(2
3
，1)．
（1）若
m
∥
n
，求sinx•cosx的值；
（2）設△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角B的取值集合為M，當x∈M時，求函數f（x）=
m
•
n
的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sinx-cosx，  1)，
n
=(cosx，  
1
2
)，若f(x)=
m
•
n
．
（1） 求函數f（x）的最小正周期；
（2） 已知△ABC的三內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且c=3， f(
C
2
+
π
12
)=
3
2
（C為銳角），2sinA=sinB，求C、a、b的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sinx+cosx，1)，
n
=(
1
2
f(x)，cosx)，
m
∥
n
．
（I）求f（x）的單調增區間及在[-
π
6
，
π
4
]內的值域；
（II）已知A為△ABC的內角，若f(
A
2
)=1+
3
，a=1，b=
2
，求△ABC的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sinx+cosx，1)，
n
=(cosx，-f(x))，且
m
⊥
n
，
（1）求f（x）的單調區間；
（2）當x∈[0， 
π
2
]時，函數g(x)=a[f(x)-
1
2
]+b的最大值為3，最小值為0，試求a、b的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）已知向量
m
=(
3
sinx+cosx，1)，
n
=(cosx，-f(x))，
m
⊥
n
．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）已知A為△ABC的內角，若f(
A
2
)=
1
2
+
3
2
，a=1，b=
2
，求△ABC的面積．

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