Question

已知f(x)=

2x+b

2x+1+a

是R上奇函數．
（I）求a，b的值；
（II）解不等式f（-3x²-2x）+f（2x²+3）＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由奇函數的性質得f（0）=0，可解得b值，再由f（-1）=-f（1）可得a值；
（Ⅱ）先判斷函數的單調性，利用奇偶性、單調性可去掉不等式中的符號“f”，從而轉化為具體不等式．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）為奇函數，得f（0）=0，即

1+b

2+a

=0，解得b=-1，
由f（-1）=-f（1）即

2-1-1

1+a

=-

2-1

22+a

，解得a=2，
經檢驗知a=2，b=-1時f（x）為奇函數，
∴a=2，b=-1．．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=

2x-1

2x+1+2

=

1

2

-

1

2x+1

，
故f（x）在R上單調遞增，
原不等式可化為f（2x²+3）＜-f（-3x²-2x）=f（3x²+2x），
因為f（x）單調遞增，所以2x²+3＜3x²+2x，即x²+2x-3＞0．
解得x＞1或x＜-3．
故不等式的解集為{x|x＜-3或x＞1}．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性及其應用，考查抽象不等式的求解，關于抽象不等式的求解關鍵是利用性質轉化為具體不等式解決．