Question

4位學生與2位教師并坐合影留念．(1)教師必須坐在中間；(2)教師不能坐在兩端，但要坐在一起；(3)教師不能坐在兩端，且不能相鄰．各有多少種不同的坐法？

Answer 1

（1）48    （2）144      (3)144

解析:

(1) 解法１  固定法：從元素著眼，把受限制的元素先固定下來．

ⅰ) 教師先坐中間，有種方法；  ⅱ) 學生再坐其余位置，有種方法．

 ∴  共有 ·＝48種坐法．

解法２ 排斥法：從位置著眼，把受限制的元素予先排斥掉．

ⅰ) 學生坐中間以外的位置：；       ⅱ) 教師坐中間位置：．

解法３  插空法：從元素著眼，讓不受限制的元素先排好（無條件），再讓受限制元素按題意插入到允許的位置上．

ⅰ) 學生并坐照相有種坐法；   ⅱ) 教師插入中間：．

解法４  淘汰法（間接解法）：先求無條件限制的排法總數，再求不滿足限制條件的排法數，然后作差．即“A＝全體-非A”.

ⅰ) 6人并坐合影有種坐法；   ⅱ) 兩位教師都不坐中間：

 （先固定法）·；

ⅲ) 兩位教師中僅一人坐中間； (甲坐中間) · (再固定乙不坐中間) · · 2（甲、乙互換）；

ⅳ) 作差：-（+2）

解法５  等機率法：如果每一個元素被排入，被選入的機會是均等的，就可以利用等機率法來解．將教師看作1人（捆綁法），問題變成5人并坐照相，共有種坐法，而每個人坐中間位置的機會是均等的，應占所有坐法的1/5，即教師1人坐

中間的坐法有即種。

(2) 將教師看作1人，問題變為5人并坐照相．   解法１  從位置著眼，排斥元素??——教師.

先從4位學生中選2人坐兩端位置：；其他人再坐余下的3個位置：；教師內部又有種坐法. ∴  共有 ＝144種坐法．

解法2  從元素著眼,固定位置.

先將教師定位：；再排學生： .  ∴  共有 種坐法。

(3) 解  插空法：（先排學生） (教師插空).