Question

已知對稱軸為坐標軸的雙曲線有一條漸近線為2x-y=0，則該雙曲線的離心率為

5

或

5

2

．

Answer 1

分析：當雙曲線焦點在x軸上時，可設標準方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），此時漸近線方程是y=±

b

a

x，與已知條件中的漸近線方程比較可得b=2a，最后用平方關系可得c=

5

a，用公式可得離心率e=

c

a

=

5

；當雙曲線焦點在y軸上時，用類似的方法可得雙曲線的離心率為

5

2

．由此可得正確答案．

解答：解：（1）當雙曲線焦點在x軸上時，
設它的標準方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
∵雙曲線的一條漸近線方程是2x-y=0，
∴雙曲線漸近線方程是y=±

b

a

x，即y=±2x
∴

b

a

=2⇒b=2a
∵c²=a²+b²
∴c=

a2+b2

=

a2 +(2a)2

=

5

a
所以雙曲線的離心率為e=

c

a

=

5

（2）當雙曲線焦點在y軸上時，
設它的標準方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）
采用類似（1）的方法，可得

b

a

=

1

2

⇒b=

1

2

a
∴c=

a2+b2

=c=

a2+( 1 2 a)2

=

5

2

a
所以雙曲線的離心率為e=

c

a

=

5

2

綜上所述，該雙曲線的離心率為

5

或

5

2

故答案為：

5

或

5

2

點評：本題用比較系數法求雙曲線的離心率的值，著重考查了雙曲線的漸近線和平方關系等基本概念和雙曲線的簡單性質，屬于基礎題．