Question

【題目】已知函數（，為自然對數的底數）.

（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的單調區間；

（2）若函數有兩個極值點，求實數的取值范圍；

（3）證明：當時，.

Answer 1

【答案】(1)在上單調遞增，無單調減區間；(2)；(3)證明見詳解.

【解析】

（1）由題意可得切線斜率，也即，據此求得參數，再求的單調區間即可.

（2）若滿足題意，只需有兩個實數根，分離常數，整理可得只需直線與函數有兩個交點即可，數形結合即可求得.

（3）根據（1）中所求，，構造函數，利用導數求其最小值，即可證明.

（1），故可得

由題可得，代值可得，解得.

故，則，

令，解得，

故在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

故，

即可得在上單調遞增，無單調減區間.

（2）函數有兩個極值點，等價于有兩個不同的實數根.

也即有兩個實數根，

即可理解為直線與函數的圖像有兩個交點.

又，令，解得，

故在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.

故，

又當時，，且趨于正無窮時，趨于0，

當趨于負無窮時，趨于負無窮，

故在同一直角坐標系中繪圖如下：

數形結合可知，要滿足題意，只需即可.

故的取值范圍為.

（3）由（1）可知，當時，，又，

故可得，

要證不等式成立，

只需證當時，即可.

也就是證當時，即可.

又，

因為當時，，故可得，

即可得在上單調遞增，

故.

即證當時，，

故當時，成立，即證.