Question

某商場預計2013年1月份起前個月，顧客對某種商品的需求總量（單位：件）與的關系近似地滿足：.該商品第月的進貨單價（單位：元）與x的近似關系是：

（1）寫出今年第月的需求量件與的函數關系式；
（2）該商品每件的售價為185元，若不計其他費用且每月都能滿足市場需求，試問商場2013年第幾月份銷售該商品的月利潤最大，最大月利潤為多少元？

Answer 1

（1）
（2）商場2011年第5月份的月利潤最大，最大利潤為3125元

本試題主要是考查了函數在實際生活中的運用，主要是分段函數的運用。
（1）根據前x個月的總量，作差法得到第x個月的銷售商品的需求量，然后得到關系式。
（2）根據題意設出變量，并能利用變量得到關于利潤的函數關系式，借助于分段函數的性質，逐一求解最值，再比較大小得到結論。
解：（1）當 …………1分
當,且時，
  …………4分
驗證符合(x∈N^*，且). …………5分
（2）該商場預計第x月銷售該商品的月利潤為:
g(x)=
=
…………8分
當時,
令,解得(舍去).      …………9分
當時，g′(x) ＞0，當時，g′(x) ＜0，
∴當x=5時，g(x)_max=g(5)=3125（元）.　 …………11分
當時,是減函數,
當時,（元） …………13分
綜上，商場2011年第5月份的月利潤最大，最大利潤為3125元.   …………14分