Question

已知函數f(x)＝aln(2x＋1)＋bx＋1.
(1)若函數y＝f(x)在x＝1處取得極值，且曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線與直線2x＋y－3＝0平行，求a的值；
(2)若b＝，試討論函數y＝f(x)的單調性．

Answer 1

（1）（2）當a≥0時，函數f(x)在區間為增函數；當a<0時，函數f(x)在區間為增函數；在區間為減函數．

(1)函數f(x)的定義域為，f′(x)＝＋b＝，
由題意可得解得所以.
(2)若b＝，則f(x)＝aln(2x＋1)＋x＋1，
所以f′(x)＝，
1°　令f′(x)＝>0，由函數定義域可知，4x＋2>0，所以2x＋4a＋1>0，
①當a≥0時，x∈，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增；
②當a<0時，x∈，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增．
2°　令f′(x)＝<0，即2x＋4a＋1<0，
①當a≥0時，不等式f′(x)<0無解；
②當a<0時，x∈，f′(x)<0，函數f′(x)單調遞減．
綜上，當a≥0時，函數f(x)在區間為增函數；當a<0時，函數f(x)在區間為增函數；在區間為減函數