Question

已知函數f（x）=e^x-x（e為自然對數的底數）．
（1）求函數f（x）的最小值；
（2）若n∈N^*，證明：(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

n

)n＜

e

e-1

．

Answer 1

分析：（1）求出f'（x）=e^x-1，當x＞0時，f'（x）＞0，當x＜0時，f'（x）＜0，故當x=0時，f（x）有最小值1．
（2） 令x=-

k

n

，則∴(1-

k

n

)n≤(e- 

k

n

)n=e-k(k=1，2，，n-1)，得到
(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

n

)n≤e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-2+e-1+1，利用等比數列求和公式和放縮法，可證明 e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-2+e-1+1=

1-e-n

1-e-1

＜

1

1-e-1

=

e

e-1

．

解答：解：（1）∵f（x）=e^x-x，∴f'（x）=e^x-1，令f'（x）=0，得x=0．
∴當x＞0時，f'（x）＞0，當x＜0時，f'（x）＜0．∴函數f（x）=e^x-x在區間（-∞，0）上單調遞減，
在區間（0，+∞）上單調遞增．∴當x=0時，f（x）有最小值1．
（2）證明：由（1）知，對任意實數x均有e^x-x≥1，即1+x≤e^x．令x=-

k

n

（n∈N^*，k=1，2，，n-1），
則 0＜1-

k

n

≤e-

k

n

，∴(1-

k

n

)n≤(e- 

k

n

)n=e-k(k=1，2，，n-1)．
即(

n-k

n

)n≤e-k(k=1，2，，n-1)．∵(

n

n

)n=1，
∴(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

n

)n≤e-(n-1)+e-(n-2)+… ．+e-2+e-1+1．
∵e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-2+e-1+1=

1-e-n

1-e-1

＜

1

1-e-1

=

e

e-1

，
∴(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

n

)n＜

e

e-1

．

點評：本題考查利用導數求函數的最值，等比數列求和公式，用放縮法證明不等式，得到
(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

n

)n≤e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-2+e-1+1是解題的關鍵和難點．