Question

已知函數f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若a=1，函數f（x）的圖象能否總在直線y=b的下方？說明理由；
（Ⅱ）若函數f（x）在（0，2）上是增函數，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設x₁，x₂，x₃為方程f（x）=0的三個根，且x₁∈（-1，0），x₂∈（0，1），x₃∈（-∞，-1）∪（1，+∞），求證：a＞1或a＜-1．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把a=1代入函數解析式，然后取特殊值x=-1，求得對應點的縱坐標大于b，說明函數f（x）的圖象不能總在直線y=b的下方；
（Ⅱ）求出原函數的導函數，解出導函數的零點，然后對a進行分類討論，找出能使函數f（x）在（0，2）上是增函數a的取值范圍．或是求出導函數后，利用分離變量法把a分離出來，把導函數恒大于等于0轉化為a恒大于等于一個函數的最大值問題；
（Ⅲ）因為方程f（x）=-x³+ax²+b=0最多只有3個根，由方程f（x）=0在（-1，0）和（0，1）內各有一個根列式f（-1）•f（0）=b（1+a+b）＜0與f（0）•f（1）=b（-1+a+b）＜0，然后分b＞0，b＜0和b=0討論即可得到a的取值范圍．
解答：（Ⅰ）解：當a=1時，f（x）=-x³+x²+b，
因為f（-1）=b+2＞b，
所以，函數f（x）的圖象不能總在直線y=b的下方．
（Ⅱ）解：法一、
由f（x）=-x³+ax²+b，得f^′（x）=-3x²+2ax，
令f^′（x）=-3x²+2ax=0，解得x=0或，
①當a＜0時，由f^′（x）＞0，解得，
所以f（x）在上是增函數，與題意不符，舍去；
②當a=0時，由f^′（x）=-3x²≤0，
所以f（x）在R上是減函數，與題意不符，舍去；
③當a＞0時，由f^′（x）＞0，解得0＜x＜，
所以f（x）在上是增函數，
又f（x）在（0，2）上是增函數，所以，解得a≥3，
綜上，a的取值范圍為[3，+∞）．
法二、
由f（x）=-x³+ax²+b，得f^′（x）=-3x²+2ax，
要使函數f（x）在（0，2）上是增函數，
則需f^′（x）=-3x²+2ax≥0對任意x∈（0，2）恒成立，
即2ax≥3x²對任意x∈（0，2）恒成立，
也就是a對任意x∈（0，2）恒成立，
因為y=在x∈（0，2）上為增函數，所以a=3．
所以，a的取值范圍為[3，+∞）．
（Ⅲ）證明：因為方程f（x）=-x³+ax²+b=0最多只有3個根，
由題意，方程在區間（-1，0）內僅有一根，
所以f（-1）•f（0）=b（1+a+b）＜0，
方程在區間（0，1）內僅有一根，
所以f（0）•f（1）=b（-1+a+b）＜0，
當b＞0時，由b（1+a+b）＜0得，1+a+b＜0，即a＜-b-1，
由b（-1+a+b）＜0得，-1+a+b＜0，即a＜-b+1，
因為-b-1＜-b+1，所以a＜-b-1＜-1，即a＜-1；
當b＜0時，由b（1+a+b）＜0得，1+a+b＜0，即a＞-b-1，
由b（-1+a+b）＜0得，-1+a+b＜0，即a＞-b+1，
因為-b-1＜-b+1，所以a＞-b+1＞1，即a＞1；
當b=0時，因為f（0）=0，所以f（x）=0有一根0，
這與題意不符．
∴a＞1或a＜-1．
點評：本題考查了利用函數的導函數研究函數的單調性，考查了分類討論得數學思想，訓練了利用分離變量求函數的最值，考查了根的存在性及根的個數的判斷，在區間（a，b）內，若f（a）•f（b）＜0，函數在區間（a，b）內必有根．此題是中檔題．