Question

【題目】（本小題滿分14分）已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點的坐標為，的面積為.

（I）求橢圓的離心率；

（II）設點在線段上，，延長線段與橢圓交于點，點，在軸上，，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為.

（i）求直線的斜率；

（ii）求橢圓的方程.

Answer 1

【答案】（1） （2）（ⅰ） （ⅱ）

【解析】（Ⅰ）設橢圓的離心率為e.由已知，可得.又由，可得，即.又因為，解得.

所以，橢圓的離心率為

（Ⅱ）（ⅰ）依題意，設直線FP的方程為，則直線FP的斜率為.

由（Ⅰ）知，可得直線AE的方程為，即，與直線FP的方程聯立，可解得，即點Q的坐標為.

由已知|FQ|=，有，整理得，所以，即直線FP的斜率為.

（ii）由，可得，故橢圓方程可以表示為.

由（i）得直線FP的方程為，與橢圓方程聯立消去，整理得，解得（舍去），或.因此可得點，進而可得，所以.由已知，線段的長即為與這兩條平行直線間的距離，故直線和都垂直于直線.

因為，所以，所以的面積為，同理的面積等于，由四邊形的面積為，得，整理得，又由，得.

所以，橢圓的方程為.