Question

已知數列{a_n}中，，當n≥2時，其前n項和S_n滿足，
（1）求S_n的表達式及的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）設，求證：當n∈N且n≥2時，a_n＜b_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）：利用a_n和S_n的關系，代入變形可得．然后再用極限法則求解．
（2）：由（1）并利用a_n和S_n的關系，可解．
（3）：法1：構造函數利用函數單調性證明．
        法2：利用差比法證明．
         法3：構造函數利用函數最值證明．
解答：解：（1）
所以是等差數列．則．．
（2）當n≥2時，，綜上，．
（3）令，當n≥2時，有（1）
法1：等價于求證．
當n≥2時，，令，，則f（x）在遞增．
又，所以，即a_n＜b_n．
法（2）=（a-b）（a²+b²+ab-a-b）（2）==（3）
因
所以
由（1）（3）（4）知a_n＜b_n．
法3：令g（b）=a²+b²+ab-a-b，則
所以g（b）≤max{g（0），g（a）}=max{a²-a，3a²-2a}
因，則a²-a=a（a-1）＜0
所以g（b）=a²+b²+ab-a-b＜0（5）由（1）（2）（5）知a_n＜b_n
點評：本題（1）：考查數列極限的綜合知識，其中注意a_n和S_n的關系．（2）考查數列通項求法．（3）考查數列函數等知識的綜合應用．