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已知直線與橢圓相交于兩點，點是線段上的一點，且點在直線上.
（1）求橢圓的離心率；
（2）若橢圓的焦點關于直線的對稱點在單位圓上，求橢圓的方程.

(1);(2)

解析試題分析：(1)設、，由題中的直線方程與橢圓方程聯立消去，得，由韋達定理得，進而得到，因此得的中點，且點在直線上建立關系得，進而得離心率的值；
（2）由（1）的結論，設橢圓的一個焦點關于直線的對稱點為，且被直線垂直且平分建立方程組，解之得且，結合點在單位圓上，得到關于的方程，并解得，由此即可得到橢圓方程.
（1）由知M是AB的中點，
設A、B兩點的坐標分別為
由
，
∴M點的坐標為
又M點的直線l上：
, 
（2）由（1）知，根據對稱性，不妨設橢圓的右焦點關于直線l：上的對稱點為，
則有              
由已知，
∴所求的橢圓的方程為                         
考點：橢圓的標準方程及簡單的幾何性質；兩點關于一條直線對稱；直線與橢圓的位置關系.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，點到點的距離比它到軸的距離多1，記點的軌跡為.
（1）求軌跡為的方程；
（2）設斜率為的直線過定點，求直線與軌跡恰好有一個公共點，兩個公共點，三個公共點時的相應取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（12分）（2011•重慶）如圖，橢圓的中心為原點O，離心率e=，一條準線的方程為x=2．

（Ⅰ）求該橢圓的標準方程．
（Ⅱ）設動點P滿足，其中M，N是橢圓上的點．直線OM與ON的斜率之積為﹣．
問：是否存在兩個定點F1，F2，使得|PF1|+|PF2|為定值．若存在，求F1，F2的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

橢圓:的左頂點為,直線交橢圓于兩點(上下),動點和定點都在橢圓上.
(1)求橢圓方程及四邊形的面積.
(2)若四邊形為梯形,求點的坐標.
(3)若為實數,,求的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：( )的離心率為，點(1，)在橢圓C上.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的兩條切線交于點M(4，)，其中，切點分別是A、B，試利用結論：在橢圓上的點()處的橢圓切線方程是，證明直線AB恒過橢圓的右焦點；
（3）試探究的值是否恒為常數，若是，求出此常數；若不是，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖為橢圓C：的左、右焦點，D，E是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率，的面積為.若點在橢圓C上，則點稱為點M的一個“橢圓”，直線與橢圓交于A，B兩點，A，B兩點的“橢圓”分別為P，Q.

（1）求橢圓C的標準方程；
（2）問是否存在過左焦點的直線，使得以PQ為直徑的圓經過坐標原點？若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（2011•湖北）平面內與兩定點A1（﹣a，0），A2（a，0）（a＞0）連線的斜率之積等于非零常數m的點的軌跡，加上A1、A2兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓成雙曲線．
（1）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關系；
（2）當m=﹣1時，對應的曲線為C1；對給定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），對應的曲線為C2，設F1、F2是C2的兩個焦點．試問：在C1上，是否存在點N，使得△F1NF2的面積S=|m|a2．若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

過點作傾斜角為的直線與曲線C交于不同的兩點，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知，，，分別是橢圓的四個頂點，△是一個邊長為2的等邊三角形，其外接圓為圓．
（1）求橢圓及圓的方程；
（2）若點是圓劣弧上一動點（點異于端點，），直線分別交線段，橢圓于點，，直線與交于點．
（�。┣�的最大值；
（ⅱ）試問：，兩點的橫坐標之和是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

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