Question

已知向量，且x∈[0，]，
（1）用x表示向量與的夾角大��；
（2）若f（x）=-2λ||的最小值是-，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出兩個向量的數量積，再根據向量的夾角計算公式結合x∈[0，]即可得到答案；
（2）先求出函數f（x）的表達式，再利用換元法結合二次函數的最值求法即可得到答案．
解答：解：（1）•=coscos-sinsin=cos2x，…（1分）
設向量與的夾角大小為θ，則cosθ==cos2x，…（2分）
且x∈[0，]，2x∈[0，π]，所以向與的夾角大小為2x．…（4分）
（2）∵||===2cosx…（6分）
所以f（x）=•-2λ||
=cos2x-2λ×2cosx=2（cosx-λ）²-1-2λ² …（8分）
設t=cosx，則t∈[0，1]，所以g（t）=2（t-λ）²-1-2λ²
①當λ＜0時，g（t）在[0，1]上是增函數，則[f（x）]_min=[g（t）]_min=-1≠-…（10分）
②當λ∈[0，1]時，則[f（x）]_min=-1-2λ²=-，則λ=±（-不符合題意，舍去）…（12分）
③當λ＞1時，g（t）在[0，1]上是減函數，則[f（x）]_min=g（1）=1-4λ=-，λ=（不符合題意，舍去）…（14分）
綜上所述，λ=…（16分）
點評：本題主要考查向量的應用以及二次函數的最值求法．是對知識的綜合考查，屬于中檔題目，考查計算能力以及分類討論思想．