Question

（2010•重慶三模）如圖，已知圓G：(x+

2 3

a)2+y2=4a2(a＞0)，定點T(

2 3

a，0)，M為圓上一動點，P點在TM上，N點在GM上，且滿足

TM

=2

TP

，

NP

•

TM

=0，點N的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線 E的方程；
（Ⅱ）設曲線E交直線l：y=k（x+1）于A、B兩點，與x軸交于點C，若

AC

=2

CB

，若△ABO的面積是

3

2

，求a值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

TM

=2

TP

，

NP

•

TM

=0可得|NM|=|NT|，∴|NG|+|NT|=|NG|+|NM|=|GM|=2a＞|GT|=2

2 3

a，再根據橢圓的定義可得曲線E的方程．
（Ⅱ）聯立直線與橢圓的方程再結合根與系數的關系可得：y₁+y₂=

2k

1+3k2

，y₁y₂=

k2(1-a2)

1+3k2

，再結合

AC

=2

CB

可得y₁=-2y₂，即可求出y2，再利用其表示出三角形的面積，進而求出k的取值，即可得到a的取值．

解答：解：（Ⅰ）∵

TM

=2

TP

，

NP

•

TM

=0，
∴|NM|=|NT|，
∴|NG|+|NT|=|NG|+|NM|=|GM|=2a＞|GT|=2

2 3

a …2分
∴N 的軌跡是以G（-

2 3

a，0)，T(

2 3

a，0）為焦點的橢圓，且長軸長為2a，
∴短軸長為

2a

3

，
所以E的方程為：x²+3y²=a²．…4分
（Ⅱ）由

y=k(x+1) x2+3y2=a2

得：(

1

k2

+3)y2-

2

k

y+1-a2=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以由根與系數的關系可得：y₁+y₂=

2k

1+3k2

…①，y₁y₂=

k2(1-a2)

1+3k2

…②…6分
∵

AC

=2

CB

，
∴y₁=-2y₂ …③
 由①③解得：y₂=-

2k

1+3k2

…④…8分
所以S_△=

1

2

|OC|•|y1-y2|=

3

2

|y2|=

3|k|

1+3k2

=

3

2

⇒k=±

3

3

…11分
將k=±

3

3

代入②③④解得：a=±

5．

滿足△＞0 …12分

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合題，解題的關鍵是掌握圓錐曲線的定義，由題設條件判斷出所求的軌跡是橢圓，以及能將向量的數量積轉化為兩個點的坐標關系，以利于用直線與圓錐曲線的方程研究參數的取值，本題綜合性強運算較繁雜，做題時要嚴謹認真．