Question

【題目】已知函數， ．

（1）求函數的極值；

（2）若不等式對恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）由題意的，求得，分類討論得到函數的單調性，即可確定函數的極值；

（2）設，得到，令，則， ，

求得，得到的單調性和值域，進而分類討論，得到的最小值，得到實數的取值范圍．

試題解析：

（1），

，

∵的定義域為．

①即時， 在上遞減， 在上遞增，

， 無極大值．

②即時， 在和上遞增，在上遞減，

， ．

③即時， 在上遞增， 沒有極值．

④即時， 在和上遞增， 在上遞減，

∴， ．

綜上可知： 時， ， 無極大值；

時， ， ；

時， 沒有極值；

時， ， ．

（2）設 ， ，

設，則， ， ，

∴在上遞增，∴的值域為，

①當時， ， 為上的增函數，

∴，適合條件．

②當時，∵，∴不適合條件．

③當時，對于， ，

令， ，

存在，使得時， ，

∴在上單調遞減，∴，

即在時， ，∴不適合條件．

綜上， 的取值范圍為．