Question

【題目】已知圓O：x2+y2=4與x軸負半軸的交點為A，點P在直線l： x+y﹣a=0上，過點P作圓O的切線，切點為T
（1）若a=8，切點T（ ，﹣1），求點P的坐標；
（2）若PA=2PT，求實數a的取值范圍；
（3）若不過原點O的直線與圓O交于B，C兩點，且滿足直線OB，BC，OC的斜率依次成等比數列，求直線l的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，直線PT切于點T，則OT⊥PT，

又切點T（ ，﹣1），所以kOT=﹣ ，∴kPT= ，

故直線PT的方程為y+1= （x﹣ ），即 ．

聯立直線l和PT， 解得 即P（2 ）

（2）解：設P（x，y），由PA=2PT，可得（x+2）2+y2=4（x2+y2﹣4），

即3x2+3y2﹣4x﹣20=0，即滿足PA=2PT的點P的軌跡是一個圓（x﹣ ）2+y2= ，

所以問題可轉化為直線 與圓（x﹣ ）2+y2= ，有公共點，

所以d= ，解得

（3）解：當直線BC垂直與x軸時，顯然不成立，所以設直線BC為y=kx+b（b≠0），

將它與圓方程聯立并消去y得（k2+1）x2+2kbx+b2﹣4=0，

設B（x1，y1），C（x2，y2），

則x1x2= ，x1+x2= ，因為則y1y2= ，

故kOBkOC= = =k2，

即b2（k2﹣1）=0，因為b≠0，所以k2=1，即k=±1

【解析】（1）直線PT切于點T，則OT⊥PT，求出kOT ， kPT ， 直線l和PT，求出P的坐標．（2）設P（x，y），由PA=2PT，求出點P的軌跡方程，問題可轉化為直線 與圓（x﹣ ）2+y2= ，有公共點，列出不等式求解即可．（3）當直線BC垂直與x軸時，顯然不成立，設直線BC為y=kx+b（b≠0），將它與圓方程聯立，設B（x1 ， y1），C（x2 ， y2），利用kOBkOC= = =k2 ， 求解即可．