Question

【題目】在平面直角坐標系中，，為，軸上兩個動點，點在直線上，且滿足，.

（1）求點的軌跡方程；

（2）記點的軌跡為曲線，為曲線與正半軸的交點，、為曲線上與不重合的兩點，且直線與直線的斜率之積為，試探究面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）通過引入參數，分別表示點的橫縱坐標，得到其參數方程，再消去參數得到其軌跡方程.

（2）按照直線斜率是否存在分兩種情況進行討論，對于斜率存在的情況，通過設出方程，代入曲線消去得到關于的一元二次方程，利用韋達定理，結合題目條件求出m的值，從而求出關于的表達式，再利用基本不等式即可求出最大值.

（1）設，，則，

故點的軌跡方程為

（2）①當直線的斜率不存在時，

設

則，

∴，不合題意.

②當直線的斜率存在時，設

，

聯立方程得

則 ，

又

即

將，代入上式得

∴直線過定點，所以直線MN： ，即，

則三角形GMN的底MN上的高為，

∴

令即

∴

當且僅當時取等號

故