Question

（本小題滿分14分）

已知函數F(x)=|2x－t|－x³+x+1（x∈R，t為常數，t∈R）.

(Ⅰ)寫出此函數F(x)在R上的單調區間；

(Ⅱ)若方程F(x)－k=0恰有兩解，求實數k的值．

 

Answer 1

【答案】

 

i) 當<－1時，F(x)在區間(－∞，－1)上是減函數，

在區間(－1，1)上是增函數，在區間(1，+∞)上是減函數．

ii) 當1>≥－1時，F(x)在區間(－∞，)上是減函數，

在區間(，1)上是增函數，在區間(1，+∞)上是減函數．

iii) 當≥1時，F(x)在(－∞，+∞)上是減函數． i) 當<－1時，F(x)在x=－1處取得極小值－1－t，

在x=1處取得極大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有兩解，

此時m=－1－t或m=3－t．

ii) 當－1≤<1，F(x)在x=處取值為，

在x=1處取得極大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有兩解，

此時m=或m=3－t．

iii) 當≥1時，不存在這樣的實數m，使得F(x)－m=0恰有兩解

【解析】(Ⅰ)

∴ .……………..4分

由－3x²+3=0 得x₁=－1，x₂=1，而－3x²－1<0恒成立，

∴ i) 當<－1時，F(x)在區間(－∞，－1)上是減函數，

在區間(－1，1)上是增函數，在區間(1，+∞)上是減函數．

ii) 當1>≥－1時，F(x)在區間(－∞，)上是減函數，

在區間(，1)上是增函數，在區間(1，+∞)上是減函數．

iii) 當≥1時，F(x)在(－∞，+∞)上是減函數． .……………..8分             

       (II)由1）可知

i) 當<－1時，F(x)在x=－1處取得極小值－1－t，

在x=1處取得極大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有兩解，

此時m=－1－t或m=3－t．

ii) 當－1≤<1，F(x)在x=處取值為，

在x=1處取得極大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有兩解，

此時m=或m=3－t．

iii) 當≥1時，不存在這樣的實數m，使得F(x)－m=0恰有兩解．.……………..14